Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
A equação da reta é uma lei matemática que determina um conjunto de pontos que formam uma reta, representada em um plano cartesiano (x, y).
Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos que pertençam à reta, podemos determinar sua equação.
Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.
Equação geral da reta
Uma reta no plano pode ser representada pela equação:
Por exemplo:
2x + 3y + 4 = 0
Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.
Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.
Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:
Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:
(ya - yb) x + (xb - xa) y + xayb - xbya = 0
Vamos chamar:
a = (ya - yb)
b = (xb - xa)
c = xayb - xbya
A equação geral da reta é definida como:
ax + by + c = 0
Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.
Exemplo
Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).
Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo a matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.
Desenvolvendo o determinante, encontramos:
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:
9x - 4y + 41 = 0
Para saber mais, leia também sobre Determinante.
Equação reduzida da reta
A equação reduzida da reta é da forma:
Onde,
x e y são pontos no plano;
m é o coeficiente angular (inclinação em relação ao eixo x);
n é o coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y).
Coeficiente angular
Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.
Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que:
O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta.
Como m = tg θ, então:
Exemplo
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).
Sendo,
x1 = 1 e y1 = 4
x2 = 2 e y2 = 3
Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação.
Para isso substituímos na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:
Exemplo
Determine uma equação da reta na forma reduzida que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3.
Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
Coeficiente linear
O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto onde a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).
Utilizando esse ponto, temos:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Equação reduzida da reta).
Exemplo
Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Como temos a equação reduzida da reta, então:
m = 1
Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5)
Leia também Cálculo do coeficiente angular
Equação segmentária da reta
A equação segmentária da reta é:
Onde:
p é o ponto onde a reta corta o eixo x (p, 0);
q é o ponto onde a reta corta o eixo y (0,q).
Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:
Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:
Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:
Exemplo
Escreva, na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.
Primeiro encontramos o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular:
Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta:
Exercícios sobre equação da reta resolvidos
Exercício 1
Escreva a equação da reta 2x + y + 3 = 1 , na forma reduzida.
Forma reduzida
Exercício 2
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, 2) e possui coeficiente angular igual a 2.
Exercício 3
Dada a reta com a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular.
Isolamos o y.
Logo, o coeficiente angular é
Exercício 4
Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida.
Exercício 5
(ENEM - 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.
Resposta correta: c) aumentar em 2 unidades.
Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B.
Lembrando que m= tg Ɵ, temos:
Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta B terá que ter o seguinte valor:
Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2 unidades.
Alternativa c: aumentar 2 unidades
Leia também sobre:
- Exercícios sobre equação da reta resolvidos
- Geometria analítica
- Plano Cartesiano
- Distância entre dois pontos
- Reta
- Segmento de Reta
Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Veja também
- Exercícios sobre equação da reta resolvidos
- Exercícios sobre Geometria Analítica
- Cálculo do Coeficiente Angular
- Plano Cartesiano
- Geometria analítica
- Distância entre dois pontos
- Exercícios sobre distância entre dois pontos
- Exercícios de Função Afim (Função do 1º Grau): com respostas explicadas